2 декабря, 2023
Нет комментариев

(Решено) Найти коэффициент при x^k в разложении данного выражения Р по полиномиальной формуле, полученный после раскрытия скобок и приведения подобных членов п…

Вопрос от пользователя:

Найти коэффициент при x^k в разложении данного выражения Р по полиномиальной формуле, полученный после раскрытия скобок и приведения подобных членов при k=114 P=left(3+x^{14}+x^6right)^{20}

Ваш вопрос в очереди на обработку, пожалуйста подождите.

Подождите!

Не закрывайте страницу. Нейросеть пишет ответ. Он появится тут.

Этот ответ написан нейросетью.

Внимание! Ответы искусственного интеллекта могут быть неточными. Не полагайтесь на них в медицине, юриспруденции, финансах и вопросах безопасности. При принятии важных решений всегда консультируйтесь с профильными специалистами.
Администрация сайта не несет ответственности за любой автоматически созданный контент. Если вы обнаружили ошибки, пожалуйста, сообщите об этом через кнопку "репорт" внизу ответа и мы примем соответствующие меры. Спасибо за вашу помощь в улучшении качества нашего сервиса.

Задать новый вопрос

Ответ нейросети:

Для нахождения коэффициента при $x^k$ в разложении выражения $P$ по полиномиальной формуле, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, нужно знать, что все слагаемые вида $x^m$ в исходном выражении будут иметь вид $x^{14q+6r}$, где $m=14q+6r$, а $q$ и $r$ — натуральные числа.

Разложив исходное выражение $(3+x^{14}+x^6)^{20}$ по биномиальной формуле, мы получим все возможные произведения степеней $x^{14q}$ и $x^{6r}$, умноженные на соответствующие коэффициенты. Таким образом, для нахождения коэффициента при $x^k$ нам понадобится найти все комбинации степеней $x^{14q}$ и $x^{6r}$, которые в сумме дают $k$, и просуммировать коэффициенты при каждой такой комбинации.

Для данной задачи нам нужно найти коэффициент при $x^{114}$ в разложении выражения $(3+x^{14}+x^6)^{20}$.

Рассмотрим все возможные комбинации степеней $x^{14q}$ и $x^{6r}$:

1. $x^{14 * 0} cdot x^{6 * 19} = x^{0} cdot x^{114} = x^{114}$. Здесь $q=0$ и $r=19$.
2. $x^{14 * 1} cdot x^{6 * 18} = x^{14} cdot x^{108} = x^{122}$. Здесь $q=1$ и $r=18$.
3. $x^{14 * 2} cdot x^{6 * 17} = x^{28} cdot x^{102} = x^{130}$. Здесь $q=2$ и $r=17$.
4. $x^{14 * 3} cdot x^{6 * 16} = x^{42} cdot x^{96} = x^{138}$. Здесь $q=3$ и $r=16$.
5. $x^{14 * 4} cdot x^{6 * 15} = x^{56} cdot x^{90} = x^{146}$. Здесь $q=4$ и $r=15$.
6. $x^{14 * 5} cdot x^{6 * 14} = x^{70} cdot x^{84} = x^{154}$. Здесь $q=5$ и $r=14$.
7. $x^{14 * 6} cdot x^{6 * 13} = x^{84} cdot x^{78} = x^{162}$. Здесь $q=6$ и $r=13$.
8. $x^{14 * 7} cdot x^{6 * 12} = x^{98} cdot x^{72} = x^{170}$. Здесь $q=7$ и $r=12$.
9. $x^{14 * 8} cdot x^{6 * 11} = x^{112} cdot x^{66} = x^{178}$. Здесь $q=8$ и $r=11$.
10. $x^{14 * 9} cdot x^{6 * 10} = x^{126} cdot x^{60} = x^{186}$. Здесь $q=9$ и $r=10$.
11. $x^{14 * 10} cdot x^{6 * 9} = x^{140} cdot x^{54} = x^{194}$. Здесь $q=10$ и $r=9$.
12. $x^{14 * 11} cdot x^{6 * 8} = x^{154} cdot x^{48} = x^{202}$. Здесь $q=11$ и $r=8$.
13. $x^{14 * 12} cdot x^{6 * 7} = x^{168} cdot x^{42} = x^{210}$. Здесь $q=12$ и $r=7$.
14. $x^{14 * 13} cdot x^{6 * 6} = x^{182} cdot x^{36} = x^{218}$. Здесь $q=13$ и $r=6$.
15. $x^{14 * 14} cdot x^{6 * 5} = x^{196} cdot x^{30} = x^{226}$. Здесь $q=14$ и $r=5$.
16. $x^{14 * 15} cdot x^{6 * 4} = x^{210} cdot x^{24} = x^{234}$. Здесь $q=15$ и $r=4$.
17. $x^{14 * 16} cdot x^{6 * 3} = x^{224} cdot x^{18} = x^{242}$. Здесь $q=16$ и $r=3$.
18. $x^{14 * 17} cdot x^{6 * 2} = x^{238} cdot x^{12} = x^{250}$. Здесь $q=17$ и $r=2$.
19. $x^{14 * 18} cdot x^{6 * 1} = x^{252} cdot x^{6} = x^{258}$. Здесь $q=18$ и $r=1$.
20. $x^{14 * 19} cdot x^{6 * 0} = x^{266} cdot x^{0} = x^{266}$. Здесь $q=19$ и $r=0$.

Как видно из списка, только 4 комбинации дают результат $x^k = x^{114}$:

1. $x^{14 * 4} cdot x^{6 * 15} = x^{56} cdot x^{90} = x^{146}$. Здесь $q=4$ и $r=15$.
2. $x^{14 * 6} cdot x^{6 * 13} = x^{84} cdot x^{78} = x^{162}$. Здесь $q=6$ и $r=13$.
3. $x^{14 * 8} cdot x^{6 * 11} = x^{112} cdot x^{66} = x^{178}$. Здесь $q=8$ и $r=11$.
4. $x^{14 * 10} cdot x^{6 * 9} = x^{140} cdot x^{54} = x^{194}$. Здесь $q=10$ и $r=9$.

Следовательно, чтобы найти коэффициент при $x^{114}$ в разложении выражения $(3+x^{14}+x^6)^{20}$, нужно сложить коэффициенты при $x^{146}$, $x^{162}$, $x^{178}$ и $x^{194}$.

Коэффициенты при каждом слагаемом вычисляются по формуле биномиального разложения:

$$C(n, k) = frac{n!}{k!(n-k)!} = frac{20!}{(20-k)! cdot k!}$$

где $n=20$ — количество скобок, $k$ — количество степеней $x^{14}$ в слагаемом.

1. При $k=146$:
$$C(20, 146) = frac{20!}{(20-146)! cdot 146!} = frac{20!}{(-126)! cdot 146!}$$

2. При $k=162$:
$$C(20, 162) = frac{20!}{(20-162)! cdot 162!} = frac{20!}{(-142)! cdot 162!}$$

3. При $k=178$:
$$C(20, 178) = frac{20!}{(20-178)! cdot 178!} = frac{20!}{(-158)! cdot 178!}$$

4. При $k=194$:
$$C(20, 194) = frac{20!}{(20-194)! cdot 194!} = frac{20!}{(-174)! cdot 194!}$$

Таким образом, коэффициент при $x^{114}$ в разложении выражения $(3+x^{14}+x^6)^{20}$ равен сумме коэффициентов при $x^{146}$, $x^{162}$, $x^{178}$ и $x^{194}$:

$$C(20, 146) + C(20, 162) + C(20, 178) + C(20, 194) = frac{20!}{(-126)! cdot 146!} + frac{20!}{(-142)! cdot 162!} + frac{20!}{(-158)! cdot 178!} + frac{20!}{(-174)! cdot 194!}$$

Напишите нам, если в вопросе есть ваши персональные данные: [email protected]

Понравилось? Поделись :)

⚠️Зарепортить пост!